力学系とは？

力学系とはある時刻における状態が、微分方程式、差分方程式、微差分方程式により決定されるシステムのこと。
$k$次元力学系では、任意の時刻におけるシステムの状態の変化則は$k$個の状態変数の関数により記述される。

離散時間力学系の場合： $$ x(t+1)=\boldsymbol{f}_\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}(t)) $$

連続時間力学系の場合： $$ \frac{dx(t)}{dt}=\boldsymbol{f}_\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}(t)) $$

但し、$\boldsymbol{x}(t)$は時間$t$における力学系の状態空間を構成する多様体上のシステムの状態、$\boldsymbol{f}$は$k$次元の非線形関数、$\boldsymbol{\mu}$はシステムを制御するパラメータベクトル。
先述のこれらの式のように$\boldsymbol{f}$内に明示的に時間$t$が含まれていない系を自律系（automonous system）という。これに対し、

$$ x(t+1)=\boldsymbol{f}_\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}(t),t) $$

や $$ \frac{dx(t)}{dt}=\boldsymbol{f}_\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}(t),t) $$

のように$\boldsymbol{f}$内に明示的に時間$t$が含まれている系を非自律系（non-automonous system）という。

アトラクタとは？

力学系に初期条件を与え、十分時間が経った後の$k$次元状態空間内での漸近的な振る舞いのこと。
例として以下で与えられるローレンツ方程式のアトラクタを見てみる。

ローレンツ方程式: $$ \begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}&=&-px+py\\ \frac{dy}{dt}&=&-xz+rx-y\\ \frac{dz}{dt}&=&xy-bz \end{eqnarray} $$ 但し、$p,r,b$はそれぞれシステムを制御するパラメータで、$p=10,r=28,b=\frac{8}{3}$のとき、ローレンツ方程式はカオス的な挙動をすることが知られている。
参考：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 力学系のパラメータ設定
p = 10.0
r = 28.0
b = 8.0/3.0

# 力学系の関数を設定
def x_dot(x, y):
    return -p*x + p*y

def y_dot(x, y, z):
    return - x * z + r * x - y

def z_dot(x, y, z):
    return x * y - b * z

def lorenz(t, v):
    '''v = [x, y, z]'''
    return [x_dot(v[0],v[1]), y_dot(v[0],v[1],v[2]), z_dot(v[0],v[1],v[2])]

# 初期値の設定
t0 = 0.0
x0, y0, z0 = 1.0, 1.0, 1.0

# シミュレーションの時間間隔
dt = 0.01

# シミュレーション時間
T = 100.0

# 数値計算を行うインスタンスの作成
integrator = ode(lorenz).set_integrator('dopri5')
integrator.set_initial_value([x0,y0,z0], t0)

# シミュレーション
time = []
data = []
for t in np.arange(t0, T, dt):
    time.append(integrator.t+dt)
    data.append(integrator.integrate(integrator.t+dt))
data = np.array(data)

# 描画
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot(data[:,0], data[:,1], data[:,2],
        lw=1, c='k')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.show()