モーメントとキュムラントの関係

統計学

モーメントとキュムラントはそれぞれ一方だけで表すことができる. その導出を行った.

モーメント母関数からモーメントの導出

モーメントはモーメント母関数から導出できる. 確率変数 Xの r次のモーメントを \mu'_r(=E[X^r]), モーメント母関数を M_X(t)とおくと

{\displaystyle \begin{align} M_X(t)&=E[\exp(tX)]\\ &=\int^{\infty}_{-\infty}\exp(tx)p(x)dx\\ &=\int^{\infty}_{-\infty}\{\sum^{\infty}_{r=0}{\frac{1}{r!}(xt)^r}\}p(x)dx\\ &=\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\int^{\infty}_{-\infty}x^rp(x)dx}{r!}t^r\\ &=\sum^{\infty}_{r=0}\frac{E[X^r]}{r!}t^r\\ &=\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\mu'_r}{r!}t^r \end{align}}

よって

{\displaystyle \begin{align} \mu'_r=\frac{\partial^r M_X(t)}{\partial t^r}|_{t=0} \end{align}}

キュムラント母関数とキュムラント

キュムラント母関数 K_X(t)は以下で定義される.

{\displaystyle \begin{align} K_X(t)=log(M_X(t)) \end{align}}

よって

{\displaystyle \begin{align} K_X(t)=log(\sum^{\infty}_{r=0}\frac{E[X^r]}{r!}t^r) \end{align}}

と書くことができ,

{\displaystyle \begin{align} \kappa_r=\frac{\partial^r K_X(t)}{\partial t^r}|_{t=0} \end{align}}

とすれば

{\displaystyle \begin{align} K_X(t)=\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\kappa_r}{r!}t^r \end{align}}

と書くことができる. \kappa_rを r次のキュムラントという.

モーメントとキュムラントの関係式

モーメント母関数とキュムラント母関数の関係は

{\displaystyle \begin{align} M_X(t)&=\exp(K_X(t))\\ \Leftrightarrow \sum^{\infty}_{r=0}\frac{\mu'_r}{r!}t^r &= \exp(\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\kappa_r}{r!}t^r) \end{align}}

であるので, 両辺を \kappa_jで偏微分すると

{\displaystyle \begin{align} \sum^{\infty}_{r=0}\frac{1}{r!}\frac{\partial \mu'_r}{\partial \kappa_j}t^r &= \frac{1}{j!}t^j\exp(\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\kappa_r}{r!}t^r)\\ &=\frac{1}{j!}t^j \sum^{\infty}_{r=0}\frac{\mu'_r}{r!}t^r\\ &=\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\mu'_r}{j!r!}t^{j+r}\\ &=\sum^{\infty}_{r=j}\frac{\mu'_{r-j}}{j!(r-j)!}t^r \quad (j+r\rightarrow r) \end{align}}

両辺で t^rの係数を比較すれば以下の関係が得られる.

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_r}{\partial \kappa_j} = \begin{cases} 0 \quad\quad\quad\quad (r < j)\\ \begin{pmatrix} r \\ j \end{pmatrix} \mu_{r-j} \quad (r\geqq j)\\ \end{cases} \end{align}}

特に j=1のとき

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_r}{\partial \kappa_1} = r\mu'_{r-1} \end{align}}

モーメントとキュムラントの関係式（具体的に）

まず, モーメント母関数とキュムラント母関数の関係から

{\displaystyle \begin{align} M_X(t)&=\exp(K_X(t))\\ \Leftrightarrow \sum^{\infty}_{r=0}\frac{\mu'_r}{r!}t^r &= \exp(\sum^{\infty}_{r=0}\frac{\kappa_r}{r!}t^r)\\ &=\prod^{\infty}_{r=0}\exp(\frac{\kappa_r}{r!}t^r)\\ &=\prod^{\infty}_{r=0}\sum^{\infty}_{s=0}\frac{(\frac{\kappa_r}{r!}t^r)^s}{s!} \end{align}}

ここから, t^rの係数を比較して \mu'_rを得るが, 式から \mu'_rは \kappa_j \ (j=1,2,\dots)のみで構成されていることが分かる.

\mu'_1を求める

r=1のとき

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_1}{\partial \kappa_1} &= 1\cdot \mu'_0\\ &=1\cdot \int^{\infty}_{-\infty}p(x)dx=1\\ \Leftrightarrow \mu'_1&=\int 1 d\kappa_1\\ &=\kappa_1+C(\kappa\backslash\kappa_1)\\ \end{align}}

ただし, C(\kappa\backslash\kappa_1)は \kappa_1以外の \kappa_j (j=1,2,\dots)の関数を意味する.
さらに, \frac{\partial \mu'_1}{\partial \kappa_j}=0 (j > 1)であり, \mu'_rは \kappa_j (j=1,2,\dots)のみで構成されていることから C(\kappa\backslash\kappa_1)=0である.
以上より

{\displaystyle \begin{align} \mu'_1=\kappa_1 \end{align}}
\mu'_2を求める
{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_2}{\partial \kappa_1} &= 2\mu'_1\\ &=2\kappa_1\\ \Leftrightarrow \mu'_2&=\int 2\kappa_1d\kappa_1\\ &=\kappa^2_1+C(\kappa\backslash\kappa_1) \end{align}}

これより,

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_2}{\partial \kappa_2} = \frac{\partial}{\partial \kappa_2}(\kappa^2_1+C(\kappa\backslash\kappa_1)) = 0 + \frac{\partial C(\kappa\backslash\kappa_1)}{\partial \kappa_2} \end{align}}

また, モーメントとキュムラントの関係式より

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_2}{\partial \kappa_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \mu'_0 =1 \end{align}}

これらより

{\displaystyle \begin{align} C(\kappa\backslash\kappa_1)=\kappa_2+C(\kappa\backslash\kappa_1\kappa_2) \end{align}}

\frac{\partial \mu'_2}{\partial \kappa_j}=0 \ (j > 2)であり, \mu'_rは \kappa_j \ (j=1,2,\dots)のみで構成されていることから C(\kappa\backslash\kappa_1\kappa_2)=0. 以上より

{\displaystyle \begin{align} \mu'_2=\kappa_2+\kappa^2_1 \end{align}}
\mu'_3を求める
{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_3}{\partial \kappa_1} &= 3\mu'_2\\ &=3\kappa_2+3\kappa^2_1\\ \Leftrightarrow \mu'_3&=\int (3\kappa_2+3\kappa^2_1)d\kappa_1\\ &=3\kappa_1\kappa_2+\kappa^3_1+C(\kappa\backslash\kappa_1) \end{align}}

これより,

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_3}{\partial \kappa_2} = \frac{\partial}{\partial \kappa_2}(3\kappa_1\kappa_2+\kappa^3_1+C(\kappa\backslash\kappa_1)) = 3\kappa_1 + 0 + \frac{\partial C(\kappa\backslash\kappa_1)}{\partial \kappa_2} \end{align}}
{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_3}{\partial \kappa_3} = \frac{\partial}{\partial \kappa_3}(3\kappa_1\kappa_2+\kappa^3_1+C(\kappa\backslash\kappa_1)) = 0 + 0 + \frac{\partial C(\kappa\backslash\kappa_1)}{\partial \kappa_3} \end{align}}

また, モーメントとキュムラントの関係式より

{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_3}{\partial \kappa_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \mu'_1 =3\kappa_1 \end{align}}
{\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu'_3}{\partial \kappa_3} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \mu'_0 =1 \end{align}}

これらより

{\displaystyle \begin{align} \begin{cases} C(\kappa\backslash\kappa_1)=const+C(\kappa\backslash\kappa_1\kappa_2)\\ C(\kappa\backslash\kappa_1)=\kappa_3+C(\kappa\backslash\kappa_1\kappa_3)\\ \end{cases}\\ \Leftrightarrow C(\kappa\backslash\kappa_1) = \kappa_3 + const + C(\kappa\backslash\kappa_1\kappa_2\kappa_3) \end{align}}

\frac{\partial \mu'_3}{\partial \kappa_j}=0 \ (j > 3)であり, \mu'_rは \kappa_j \ (j=1,2,\dots)のみで構成されていることから C(\kappa\backslash\kappa_1\kappa_2\kappa_3). 以上より

{\displaystyle \begin{align} \mu'_3=\kappa_3+3\kappa_1\kappa_2+\kappa^3_1 \end{align}}

 

\mu'_4以降も同様にすれば導出できる.

参考

Kendall, Maurice, and Alan Stuart. "The advanced theory of statistics. Vol. 1: Distribution theory." London: Griffin, 1977, 4th ed. (1977).